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图形与几何
——2011版《数学课程标准》解读
作者:孙佩 文章来源:玉川路小学 点击数:778 更新时间:2017/1/6 14:32:36

总述:

2011年版的《数学课程标准》将空间与图形”改为“图形与几何”。

课程标准(实验稿)中,把这部分内容叫做空间与图形,现在课程标准(2011年版)把它称作为图形与几何。更突出体现了几何学的本质:以图形作为重要的研究对象,以空间形式作为分析和探讨的核心。“图形与几何”中的“图形”是研究的对象,“几何”是研究的方法。

“图形与几何”这个领域涵盖了图的认识、测量、图形的运动和图形与位置四个部分,这四部分承载着培养学生几何直观、空间观念、推理能力等重要任务。

关键词:01运动

运动是世间万物的基本特征,是物质存在的基本形式。所谓图形的运动,最基本的形式有两种:一种是形状和大小不变,仅仅位置发生变化(合同运动);二是形状不变而大小变化(相似运动)。第一、二学段中有关图形的运动,主要包括图形的平移、旋转和轴对称。通俗地讲,平移即沿着一定的方向移动了一定的距离;旋转即绕一个点转动一定的角度。无论是平移还是旋转,都经历了静止到运动的变化过程,且共同点均是不改变图形的形状与大小。

关键词:02度量

图形的大小是可以度量的,几何学起源于图形大小的度量。一般来说,一维图形的大小是长度,二维图形的大小是面积,三维图形的大小是体积。度量的核心是度量单位,度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。线段长度是一切度量的出发点。

关键词:03估测

估测或估计是《课标》(2011年版)突出强调的内容。估测与精确测量之间有着紧密的联系。生活中精确测量的结果,有时需要用估计的办法来感受;对事物进行估计时,需要对度量单位有很好的认识与把握;对图形度量知识的把握,需要具有一定的空间观念。

生活中不需要精确计算的结果,往往要用到估测的办法解决。估测既是对事物的整体把握,也是对事物数量的直觉判断;既是一种意识的体现,也是一种能力的表现;既是现实意义,也有助于学生感受度量单位的大小。估测首先建立在学生对度量单位大小认识的基础上;其次,通过问题解决让学生掌握多种解决方法;更重要的是,通过测量让学生体验估测的价值,培养学生估测的意识。

关键词:04转化

转化是数学中最常用的思想方法,即将未知、陌生、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知、熟悉、简单的问题。常见的转化方式有:一般——特殊转化、等价转化、复杂——简单转化、数形转化、构造转化、联想转化、类比转化等。

解读:

图形的认识

在第一、二学段中,学生将在日常生活中积累了有关图形认识经验的基础上,通过观察、想象、操作、比较、归纳、概括、推理等方式,认识常见的立体图形和平面图形,探索它们的性质;在观察、想象、推理和图形的相互转换过程中发展空间观念,逐步学会用数学的眼光看待丰富的图形世界,体会图形在现实生活中的广泛应用。

1、通过对实物的观察与操作认识图形

第一学段要求“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”、“通过观察、操作,初步认识长方形、正方形的特征”;第二学段要求“结合实例了解线段、射线和直线”、“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交(包括垂直)关系”等,这些要求的共同特点是通过观察与操作认识图形,直观地、整体地认识立体图形和平面图形。从对实物的观察与操作过程中来认识图形的特征和性质,既符合学生认识事物的规律,也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展能力,初步体会数学的思想方法,发展积极的情感与态度。

人们生活在三维的空间中,常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球…都给我们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象。基于这样的生活经验,学生可以从认识立体图形开始,“通过实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”。“辨认”是认识的低级阶段,但与以往的经验有所不同,它要经历从实物到几何图形的抽象过程。从不同的角度观察长方体、正方体、圆柱体、球的表面,抽象出长方形、正方形、圆等平面图形。像这样从具体到抽象,从实物到图形,从整体到局部的安排,,揭示了立体图形与平面图形的关系,也符合学生的认知特点。

第二学段要求“结合实例了解线段、射线和直线”、“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交(包括垂直)关系”。射线和直线涉及到了无限的概念,与长方体、正方体、长方形、正方形等相比,在现实中没有“直线”的实物原型,这就需要学生进行抽象与想象。认识线段要容易一些,因为现实生活中有“线段”的实物原型。

类似的,学生理解两条直线平行的位置关系也比较困难,可以利用两根铁轨作为实物原型来描述,两根铁轨不相交以及它们之间的距离处处相等的事实,都揭示了平行线的本质,但铁轨无法总是笔直的延伸,所以在从实物到几何图形的抽象过程中还需要想象,这有助于学生发展抽象能力和空间观念。

2、关注基于图形的想象和图形之间的转换,发展空间观念

除了对常见图形的认识外,《标准》还有另一种对图形观察与认识的要求:

能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体。(第一学段)

能辨认从不同方向(前面、侧面、上面)看到的物体的形状图。(第二学段)

认识长方体、正方体和圆柱的展开图。(第二学段)

空间观念作为《标准》内容的核心概念,是“图形与几何”学习的核心目标之一。为了促进学生对空间的理解与把握、发展空间观念,《标准》安排了视图与投影、展开与折叠等内容,为学生提供进行二维图形与三维图形之间转换的素材。

值得注意的一点是,“从不同的方向看到的”不是真正意义上的视图,视图是平行投影下的正投影,即平行光线将物体投射到与光线垂直的投影面上的“影子”。另外,在第一、二学段只要求辨认(不要求画出)所看到的物体的形状图。例如(《标准》附录233),观察下图:

“认识长方体、正方体和圆柱的展开图”,体现了三维图形与二维图形之间相互转换的具体要求,目标是在图形转换中引导学生观察、抽象、想象,发展空间观念。教学中应注重展开与折叠的操作过程,通过想象实现图形之间的转换,让学生记忆展开图的数量或类型的做法是不可取的。

3.注重以知识为载体渗透数学思想

图形的分类是认识图形的核心。“辨认”不同的几何图形的过程就是将图形分类的过程,长方体、正方体、圆柱体就是三类不同的几何体;正方形、长方形、圆又是另外的三类图形。“结合生活情境认识角,了解直角、锐角和钝角”、“认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形”的学习中都有分类的思想。第一学段中的“能对简单几何体和图形进行分类”的要求,实际上就是借助对图形的认识使学生体会和感悟分类的思想。

认识图形过程中大量的操作性活动,有利于学生积累数学活动经验,教学中应当予以充分的重视。

测量

在“图形与几何”的主线分析中,我们已讨论了有关测量的几个核心问题,这里仅就一些具体的问题再进行分析。

第一学段中测量的内容标准可以分成三部分,一是关于度量单位及其统一性的意义的理解;二是关于长度的测量的问题;三是关于面积的测量问题。

关于建立度量单位统一性的重要性,不仅在长度的测量中要给予关注,在面积和体积的测量中仍要让学生去感受,因为重要的思想是需要螺旋上升的。

关于对度量单位的认识,要结合实际例子体会度量单位的大小,如“北京到南京的铁路长约1000(   )”,引导学生学会选择合适的度量单位;要用实物感知度量单位的大小,如“一米约相当于(   )根铅笔长”,强化学生对度量单位的感知;还应关注不同维度度量单位之间的联系。例如,理解1分米2=100厘米2,可以借助图形(10×10的方格,每个方格为1厘米2),也可以借助等式1分米2=1分米×1分米=10厘米×10厘米=100厘米2,避免学生死记硬背单位之间的换算关系。

除了探索规则图形的周长、面积和体积公式并会应用外,《标准》还要求能测量一些非规则图形的周长,如由规则图形组合成的图形的周长、圆形或杨树叶形的周长,并给出了测量树叶周长的两种方法,对测量的误差也给予了分析。

第二学段中的内容标准包括了角的度量、部分图形的面积公式,以及体积的意义、度量单位和一些常见立体图形的体积的探索,以及“通过操作,了解圆的周长与直径的比为定值,掌握圆的周长公式;探索并掌握圆的面积公式,并能解决简单的实际问题”。

圆是第一、二学段学习的平面图形中唯一的一个曲线形,对它的周长以及面积的探索和公式的给出都具有一定的挑战性,需要学生经历分析圆的半径与周长关系的过程,并通过对特殊情况的归纳得出圆的面积公式。这个过程有助于学生提高分析问题、解决问题的能力,获得数学活动的经验,体会极限的思想。

第一、二学段都应关注估测的问题。《标准》在长度、面积和体积三个维度上都提出了估测的要求:第一学段要求“能估测一些物体的长度,并进行测量”,“会估计给定简单图形的面积”;第二学段要求“体验某些实物(如土豆等)体积的测量方法”。比如,“测量一个土豆的体积”,可以转化为与土豆等体积的规则物体来测量(详见《标准》附录235)。

第二学段还明确要求在掌握有关周长、面积、体积公式的基础上,“解决简单的实际问题”,解决问题既是学习的过程的重要环节,也是学习数学的主要目的。

图形的运动

运动是世间万物的基本特征,是物质存在的基本形式。所谓图形的运动,在义务教育数学课程中最基本的形式有两种:一是形状和大小不变,仅仅位置发生变化(合同运动);二是形状不变而大小变化(相似运动)。

在第一、二学段中图形的运动主要是合同运动,包括图形的平移、旋转和轴对称。通过这部分内容的学习,学生可以更好地认识现实世界中大量的图形运动的现象,以运动的观点认识图形,欣赏与设计图案。

第一学段中,学生借助日常生活中对图形运动现象的观察与直观感受,了解平移、旋转和轴对称;并认识两个图形具有平移或轴对称的关系。提供大量的丰富的图形运动现象,引导学生充分地观察、想象,运用日常生活中已经积累的有关经验,归纳、发现各种运动的特点,是达成这个课程目标的有效途径。

第二学段中,图形的运动的课程内容及要求主要有以下几个方面:

1)按要求在方格纸上画出一个图形经过平移或旋转后所得的图形,会补全一个轴对称图形。

在第一、二学段,方格纸是学生认识图形运动很好的平台,利用它可以准确地描述图形位置、定量刻画图形的运动,这样的描述和刻画又能加深学生对图形运动的认识和理解。

《标准》只要求图形沿水平或竖直方向平移、图形绕着一点旋转90°。如,“在方格纸上认识图形的平移与旋转,能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移,会在方格纸上将简单图形旋转90”。《标准》不要求图形沿其他方向平移或绕着一点旋转任意角度。

2)研究图形的相似运动,即将图形放大或缩小。

第二学段要求“能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小”,这里的“放大与缩小”不是严格的相似,主要是直观感知,即放大或缩小后的图形与原来的图形形状相同而大小的不同。这将为第三学段研究图形的相似运动和位似运动奠定基础。

3)综合运用图形的运动进行图案的欣赏与设计

学生对图形运动特点的了解、能够在方格纸上按要求画出运动后图形,这些知识技能和经验是图案的欣赏和设计的基础。图案的欣赏与设计,为学生用数学的眼光看世界、看生活提供了机会,也可以进一步感受数学的美、数学的价值。

欣赏或设计一个图案时,不同的学生会有不同的感受、不同的解释、不同的想象,只要是合理的都应予以肯定,并进行交流与分享;但应要求学生用自己的语言表达图案中的图形运动关系,从而更好地体会图形的运动在图案欣赏和设计中的作用。

图形与位置

日常生活中常常需要确定物体的位置,学习“图形与位置”,可以使学生更好地把握生活的空间。通过学习确定图形位置的方法,运用不同的方法确定物体的位置,可以发展学生的空间观念和推理能力。

第一学段中确定物体位置的方式有两种:一是“上、下、左、右、前、后”,二个是“东、南、西、北”。前者是一种相对位置的确定,它与观察者和参照物有关;后面的是绝对位置的确定,不受观察者的影响,只与参照物有关。生活中两种确定位置的方式都有应用,不同场合下它们会带来不同的便利。

例如(《标准》附录217),根据下图中所标的位置回答下列问题:

1)熊猫馆在猴山的哪个方向上?

2)大象馆在海洋馆的哪个方向上?

这两个问题主要涉及到了“东、南、西、北”四个方向,但参照物不同,分别以猴山、海洋馆为观察中心,这样的变化有助于学生熟悉和运用方位描述、刻画物体的位置。结合图形还可以提出其他问题,如“大象馆、百鸟园分别在狮虎山的哪个方向?”……引导学生作更多关于方位的思考和描述。

第二学段的要求主要有以下几个方面:

1)在方位的基础上,进一步定量地刻画物体的位置

《标准》要求“了解比例尺;在特定的情境中,会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算”,这为定量刻画物体的位置奠定基础;还要求“根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置”,这实际上也是用数对表示位置,是极坐标的雏形。

2)方位在具体问题中的应用

《标准》要求“会描述简单的路线图”,引导学生运用已学知识解决实际问题。路线图就是从初始点出发到达终点的行径,由于描述路线图的过程中参照点不断变化,随之需要确定的方向、距离也不断变化,所以正确地描述路线图对学生具有挑战性。描述线路图的活动,不仅能检验学生对方位的理解和认识,而且有助于学生体会数学的价值,增强学习的兴趣,促进空间观念的发展。

3)用有序数对确定位置的方法

日常生活中学生已经有用数对确定位置的经验,如确定教室里、电影院中的座位等。因而只要引导学生注意数对的顺序,“能在方格纸上用数对(限于正整数)表示位置,知道数对与方格纸上点的对应”的要求不难达到。应当注意“数对”里的数限于正整数,不要用分数,更不要用字母表示。

 


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